买彩票也要了解一些数学知识

买彩票也要了解一些数学知识本站　　2005 年 2 月，美国的一个彩票品种，就出现了漏洞，被麻省理工学院的学生发现了

　　2005 年 2 月，美国的一个彩票品种，就出现了漏洞，被麻省理工学院的学生发现了。随后的七年，这个学生反复购买这个品种，一共赚到了 300 万美元。

　　本文介绍他怎么做的，以及其中的数学原理。我依据的材料，主要来自数学教授 Jordan Ellenberg 在斯坦福大学的一次演讲。

　　彩票最重要的数学概念，叫做 期望值（expected value），即同一种行为多次重复以后，所能得到的平均收益。

　　举例来说，如果每次抽奖需要 2 元，假设 200 次抽奖可以中奖一次，奖金为 300 元。那么，你花了 2000 元，一共抽奖 1000 次，中奖了 5 次，奖金为 1500 元。

　　也就是说，1000 次抽奖的总收益是 1500 元，每次的平均收益是 1.5 元，这就是期望值。它的计算公式如下。

　　一看就知道，这个事情是不划算的，做得越多，越不划算。偶尔买一次彩票，倒也算了；如果你一天到晚不断买彩票，就肯定会亏很多钱（上例是每 200 次亏 100 元）。

　　美国马萨诸塞州有一个彩票品种，叫做 WinFall。它的规则很简单：1 到 48 里面，你猜 6 个数字，猜中就有奖。

　　有一期，一共卖出了 930 万张彩票，其中特等奖一个，奖金 100 万美元，一等奖 238 个，二等奖 11625 个，三等奖 19.8 万个，四等奖 136.8 万个。

　　每张彩票的价格是 2 元，可是平均收益只有 0.798 元，连一半都不到，可见这种彩票是非常不划算的。因此没有吸引力，购买这种彩票的民众不断减少。

　　州政府很着急，因为政府从彩票抽成 20%（每张 0.4 元）。如果销售量减少，政府的收益也会减少。于是，政府为了增加这种彩票的吸引力，决定修改彩票规则。

　　新的规则是，如果当期没有特等奖（没人猜中６个数字），那么奖金会分配给一等奖、二等奖、三等奖的得主，各奖项新的中奖金额如下。

　　每张彩票的价格还是 2 元，但是期望值变成了 5.53 元。购买这种彩票就变得非常划算，大量购买的线 倍的收益。之所以期望值大于彩票的成本，是因为奖金池还包含前期剩余的奖金。

　　麻省理工学院的一个学生，发现了这一点。他凑了 5000 元购买彩票，结果中了将近 15000 元！

　　现在我们知道，新规则的彩票是有利可图的，可以大量购买。但是，还有一个问题，应该怎么选择号码，才能保证收益？也就是说，48 个号码里面，你应该选择哪 6 个号码，才能收益最大化？

　　毕竟你不能购买所有彩票，因为彩票的收益来自没中奖的那些人。你只能购买一部分彩票，设法使得自己购买的号码有最大的中奖可能。

　　首先，让我们考虑一下，1 到 7 这七个数字里面，三个数字的组合一共有多少种？这在数学里面，叫做组合数公式。

　　组合数公式是指从 m 个不同元素中，取出 n（n ≤ m）个元素的所有组合的个数，用符号 c(m, n) 表示。

　　这七张彩票能让你的收益最大化。因为，不管最后的中奖号码是什么，它们可以保证你总是获得 6 元奖金。如果中奖号码是 123，那么你拿到头奖 6 元；如果中奖号码是 367，那么 167、346、357 这三张彩票各自猜中两个号码，你中了三个小奖，奖金总额也是 6 元。

　　仔细观察这七张彩票，你会发现它们是精心选择的：每个数字都正好出现三次。这导致你要么中一个大奖，要么中三个小奖。

　　有一种几何方法，可以非常简单地做到这一点。七个号码就是七个点，把它们用直线连起来，每根线上只能有三个点，而每个点出现在三根线上。画成上面的形状，就得到了七根线（内部的圆也算一根线）。然后，记录一下每根线上的号码，很简单就选出了七张彩票。

　　更严谨的证明是这样的：1 到 7 这七个数字，共有 21 种两个数字的组合（C(7, 2)），这意味着只要把这 21 种组合都买全了，就可以保证中三个小奖。因为三个中奖号码里面，共有三种两个数字的组合（比如中奖号码是 367，那么 36、37、67 都可以中小奖）。另一方面，由于每张彩票包含三个号码，即包含三种两个数字的组合，那么最少只要买 7 张彩票就能覆盖全部 21 种组合。

　　6 个号码只要猜中 4 个，就可以中二等奖，只要把所有四个号码的组合都买了，就可以确保中 15 个二等奖（6 个中奖号码共有 15 个四个号码的组合C(6, 4)）。

　　48 个号码里面共有 194580 种四个号码的组合（C(48, 4)），既然一张彩票包含 15 种组合，那么最少购买 12972 张彩票就够了（194580 / 15 = 12972），就可以包含所有四个号码的组合。如果有兴趣的话，你可以写一个程序，算出包含这 194580 种组合的所有彩票。

　　购买 12972 张彩票，需要 25944 元（12972 * 2）。根据前面的奖金额，二等奖的奖金是 2385 元，那么 15 个二等奖就是 35775 元（2385 * 15）。因此，投入 25944 元，可以无风险地获得 35775 元。当然，这种回报率的前提是，当期没人猜中特等奖，否则奖金就会被大大稀释。